RUBU‘ TAHTASI

Batlamyus’un yüksekliklerin ölçülmesi için öngördüğü büyük çaplı duvar kadranlarından ilham alınarak İslâm astronomları tarafından geliştirilmiş ve asırlarca kullanılmıştır. İslâm dünyasında bilinen en eski duvar kadranı 5 m. yarıçapında olup milâttan sonra IX. yüzyılda Dımaşk’ta kullanılmıştır. X. yüzyılda Rey şehrinde Hâmid b. Hıdır el-Hucendî tarafından yapılan ve “es-Südüsü’l-fahrî” adı verilen 20 m. çapındaki duvar kadranı bilinmektedir. Uluğ Bey’in XV. yüzyılın ilk yarısında yaptırmış olduğu 40 m. çapındaki kadran Semerkant’taki gözlem evinde kullanılmıştır. Rubu‘ tahtası olarak adlandırılan taşınabilir kadranlar ilk defa XI veya XII. yüzyıllarda adı bilinmeyen müslüman bir astronom tarafından muhtemelen Mısır’da gerçekleştirilmiştir.

Usturlaptan esinlenerek yapılan astrolobik rubu‘ tahtası XIV. yüzyıla ait olup Mısırlı astronom Muhammed b. Ahmed el-Mizzî tarafından geliştirilmiştir. Bu tipin, arkasında trigonometrik hesaplamalar yapılabilen cinsleri Osmanlı Devleti’nde çok kullanılmıştır. Daha önceki müslüman müelliflerin bahsetmediği bu küçük çaplı rubu‘ tahtaları Osmanlılar tarafından geliştirilmiş ve genellikle usturlabın yerine kullanılmıştır. Avrupa’da ise ancak 1600’lü yıllardan itibaren astronomların rubu‘ tahtası kullandığı bilinmektedir.

Stereometrik izdüşüm kurallarına göre geç Helenistik dönemde geliştirilen ve erken Ortaçağ’da mükemmel hale gelen düzlemküresel (planisferik) usturlap XIII. yüzyılda ilkin ikiye, daha sonra dörde katlanarak “dörtte bir” anlamına gelen rubu‘ tahtası haline dönüştü (şekil 1). Bu dönüşümle birlikte dairesel usturlabın yapı, fonksiyon ve uygulanış biçimi değiştiği gibi özgün bünyesine yeni unsurlar katılmış oldu. Rubu‘ tahtası Osmanlı devrinde zaman ve yön sorunlarının çözümünde başarıyla uygulandı. Aletin XIX. yüzyılın sonuna kadar Osmanlı hâkimiyetindeki yerlerde kullanıldığı günümüzde mevcut örneklerden anlaşılmaktadır. Modern teknolojinin bir sonucu olarak Cumhuriyet döneminde unutulmuş olan bu alet dairesel usturlabın aksine yeterince incelenmemiştir.

Usturlap yüzeyinin dörde katlanması neticesinde yer tasarrufu sağlanır, ayrıca çok katlı ve yoğun bir ölçü aleti de elde edilmiş olur. Rubu‘ tahtasında kadran geleneksel usturlapta olduğu gibi madenî bir levha yerine üzeri kâğıt kaplı sert tahtadan imal edilir. Aşınmaması ve üzerindeki çizimlerin bozulmaması için kâğıdın yüzeyine lak sürülür. Rubu‘ tahtasının ön yüzeyine “rub‘u’l-mukantarat”, arka yüzeyine “rub‘u’l-müceyyeb” adı verilir.

A) Rubu‘ tahtasının rub‘u’l-mukantarat yüzeyi ve kullanımı. Dairesel usturlabın çevresinde yer alan 360° açı ve zaman taksimatı çeyrek dairesel kadran yüzeyinin dış kenarında, ufkun altındaki saatlere ilişkin zaman eğrileri ise rubu’ tahtası kadranının merkezindeki bölgede yer alır (şekil 2). Rubu‘ tahtasında dairesel usturlapta güneşin hareketini belirleyen “örümcek”in (ankebût) yerini, kadranın dik noktasına açılan bir delikten geçerek aletin her iki yüzeyinde işlem yapabilmeyi sağlayan bir ipin üzerinde serbest kayarak marka görevini üstlenen bir boncuk alır. Geleneksel usturlapta örümcek üzerinde temsil edilen güneşin burçlar çemberi, rubu‘ tahtasında kadrana iki parça şeklinde çizilen ve her bir noktası iki farklı tarihi belirten sabit bir tutulum çemberiyle ifade edilir. Buna karşılık usturlapta çeşitli sabit yıldızların konumunu işaret eden noktalar rubu‘ tahtasında ayrıca belirtilmez. Rubu‘ tahtasının mukantarat yüzünde aşağıda belirtilen astronomik ölçüm ve hesaplar yapılabilir:

a) Güneş tutulum boylam açısı (zâviye-i tûl-i şems-i husûf) λ’nın belirlenmesi.

Rubu‘ tahtasında ikisi çakışık dört yay parçası ile temsil edilen tutulum dairesi üzerinde on iki burcun yeri bellidir (şekil 3). Her burca 30° ve her güne 1° karşı düşürüldüğüne göre burçlar dairesinde bir yıl 12 × 30 = 360 gün olarak değerlendirilir. Bu yaklaşıklık sebebiyle güneş tutulum boylam açısının belirlenmesinde en çok beş günlük bir hata yapılmış olur. Güneş Koç burcuna Mart ayının 20-21 gecesinde (rûmî takvimde 7-8 Mart) girdiğine göre ölçüm yapılacak takvim günüyle bu tarih arasındaki gün farkı alınır ve fark otuza bölünerek hangi günde bulunulduğu tesbit edilir. Bulunan tarihe göre tutulum dairesi üzerindeki λ açısı belirlenerek ipin üzerindeki marka bu noktaya getirilir. Böylece bir boncukla ifade edilen güneşin rubu‘ tahtasında gün boyunca (ipin merkez noktası etrafında) izleyeceği dairesel yörüngeyle ifade edilmiş olur.

b) Yükselim açısı (zâviye-i irtifâ-ı şems) δ, güneşin doruk yüksekliği H ve bulunulan yerin boylam açısı ϕ’nin belirlenmesi.

Şekil 4’te görüldüğü gibi yükselim (deklinasyon) δ, güneş doruk yüksekliği H ve boylam ϕ açıları arasında

H = 90° - ϕ + δ

(1)

ilişkisi geçerlidir.

Buna göre şekil 5’te olduğu gibi ip gergin tutularak, 1.a’da belirlenen λ güneş tutulum boylam açısına göre ayarlanan marka ile birlikte öğle doğrusu yönüne doğru çevrilir. Öğle doğrusunda eşlek (ekvator, hatt-ı üstüvâ) yayı ile marka arasındaki yükseklik farkı δ yükselim açısını, markanın altından geçen yükseklik yayı ise güneşin H doruk yüksekliğini belirler. Bu değerler kadranın öğle doğrusu boyunca uzanan göstergeden doğrudan doğruya okunabilir. Rubu‘ tahtalarında genellikle Yengeç dönence yayının hemen üzerinde bir de yükselim yayı mevcuttur. Eğer şekil 6’daki SNM dik üçgenine sinüs teoremi uygulanırsa SN yayı λ tutulum boylam açısına, SM yayı δ yükselim açısına ve SNM açısının ε tutulum yüzeyinin eğiklik açısına eşit olduğundan

sin δ = sin λ . sin ε

(2)

ilişkisi elde edilir. Yükselim yayı bu ilişkiye göre ölçeklendirilmiştir. 1.a’da λ açısının ayarlanması ile birlikte sin ε sabit olduğundan δ açısı anında ipin altında yükselim yayından okunabilir. Okunan açı 0° < λ < 180° için pozitif, 180° < λ < 360° için negatif olarak alınır. δ ve H belirlenince bulunulan yerin ϕ boylam açısı da (1) ilişkisinden hesaplanır. Örneğin İstanbul’da δ = 0° için H = 49° okunur ve ϕ = 90° - H = 41° hesaplanır.

c) Zaman ölçümleri. Usturlaplarda zaman ölçümleri açı ölçümlerine dayanır. Usturlap ekranında 360° ≡ 24 saat ≡ 1440 dakikaya karşı düştüğüne göre 1° ≡ 4 dakika anlamına gelir. Rubu‘ tahtası üzerinde zaman belirleme işlemleri aşağıda belirtilen işlemlerle gerçekleştirilir:

1. Yarı gün farkı F’nin belirlenmesi. Senede iki defa gece ve gündüz süreleri eşit ve gündüz süresi T° = 180° = 12 saate eşittir. Yaz günlerinde gündüz süresi 2 (T°/2-90°) kadar uzar, kış günlerinde ise 2 (90°-T/2) kadar kısalır (şekil 7). Bu farkın yarısı F°= ± (T°/2-90°) yarı gün farkı olarak adlandırılır ve λ güneş tutulum boylam açısının belirlenmesiyle ufuk yayı ile doğu-batı doğrusu arasındaki açıdan kolaylıkla elde edilir.

2. Güneş yüksekliği h’nın belirlenmesi. Bunun için rubu‘ tahtasının sol kenarındaki iki çıkıntı güneşe doğru yönlendirilir. Kadran avuç içinde çevrilirken serbest bırakılan ip çekül ağırlığı ile gergin sarkıtılır. İlk çıkıntının gölgesi ikinci çıkıntıyı gölgelediği an güneş yüksekliğine karşı düşen h° açısı ipin üzerindeki boncuğun altındaki yükseklik yayından okunur (bk. şekil 8).

3. Bulunulan t zamanının belirlenmesi. İpin üzerindeki boncuk, 1.a’da belirlenen λ güneş tutulum boylam açısı üzerinde bulunmak üzere gergin tutularak 2’de okunan h yükseklik dairesinin üzerine gelinceye kadar çevrilir. Bu noktada yükseklik yayında ölçülen açı t zamanını belirler (şekil 8). Ancak rubu‘ tahtasının şekil 9 gereği dörde katlanmış bir dairesel usturlap olduğu göz önünde bulundurularak t zamanı yükseklik yayında ölçülür. Günümüzde kullanılan standart saat sistemi şekil 9’da usturlap çevresinde iç sıradaki kırmızı rakamlarla ifade edilmiştir. Ancak burada ölçülen değer güneş saatlerinde ölçülen görünür güneş zamanı olduğuna göre bulunan değere boylam farkını ve zaman düzeltisini işaretiyle ilâve etmek gerekir.

Güneşin batışını günün başlangıcı kabul eden ezânî saatlerin tesbitinde hangi k kadranında ölçüm yapıldığı göz önünde bulundurularak

ezânî zaman açısı = t° - F° ± k . 90°

(3)

ilişkisiyle belirlenir. Bu arada ezânî saatlerin 2 × 12 saatten oluştuğunu unutmamak gerekir. Şekil 9’da, yılın belirli bir günü için ezânî saatler dış sıradaki siyah rakamlarla ifade edilmiştir.

Ayrıca gün ve gecenin ayrı ayrı on iki saate bölünerek elde edilen zamânî saatler tanımlanır. Dairesel usturlapta ufkun altındaki gece süresi on iki eşit parçaya ayrılmış olduğundan zamânî saatler kolaylıkla belirlenir (bk. şekil 9). Rubu‘ tahtasında bu bölge dörde katlanma sebebiyle çizilemediğinden onun yerine dik açının bulunduğu köşede yer alan altı adet yaydan yararlanılır.

Zamânî saatlerin güneş yüksekliğini elde etmek için ilkin güneş tutulum boylam açısı λ’ya ilişkin güneş doruk yüksekliği H bulunur (bk. 1b). İp yükseklik yayından H yükseklik açısına ve boncuk KU yarı çaplı dairenin üzerinde D noktasına gelecek şekilde ayarlanır (şekil 10). Bunun neticesinde ip gergin çevrilirken boncuk merkezdeki 1-6 daireleri üzerinden geçer ve yükseklik yayında zamânî saatlere ilişkin h güneş yükseklikleri doğrudan okunabilir. Ara saatler ara kestirimle (interpolasyon) belirlenir.

Bazı rubu‘ tahtalarında güne bağlı olarak zamânî saatlerin kaç dereceye karşı düştüğünü veren bir eğri bulunur. Boncuk λ’ya göre ayarlandıktan sonra zamânî saat eğrisi üzerine getirilir ve bu açı doğrudan yükseklik yayından okunur.

4. Namaz vakitlerinin belirlenmesi. Öğle namazı (zuhr). Güneş H doruk yüksekliğine eriştiği ya da güneş saatinde gölgenin en kısa olduğu anda kılınır. Bu da rubu‘ tahtasında güneşin boylam ya da öğle doğrusu üzerinden geçtiği zamana karşı düşer.

İkindi namazı (asr). Asr-ı evvel ve asr-ı sânî olarak tanımlanan iki zaman aralığında kılınır. Güneş doruk yüksekliği H’nin bilinmesi halinde h₁ asr-ı evvel güneş yüksekliği öğle çubuk gölgesine bir ve h₂ asr-ı sânî güneş yüksekliği iki çubuk boyu eklenerek

cot h1 = 1 + cot H	(4)
cot h2 = 2 + cot H	(5)

ilişkilerinden hesaplanır.

Rubu‘ tahtasında genellikle H güneş doruk yüksekliğinin ayarlanması halinde h₁ ve h₂ açıları (4) ve (5) ilişkileri gereği yükseklik yayına eş odaklı iki yay üzerinde doğrudan okunabilir.

Akşam namazı (mağrib). Güneş ufukta kaybolduktan sonra kılınır. Ezânî saate göre güneşin batması ile saat 12 ya da 0 olur ve yeni bir gün başlar. Rubu‘ tahtasında bu zaman ufuk eğrisiyle belirlenir. Ancak güneşin battığından emin olmak için belirlenen değere genellikle 1°’lik zaman süresi eklenir.

Yatsı namazı (şafak). “Güneşin ufkun altına 17° indiği zaman” olarak tanımlanır. Bu zaman rubu‘ tahtasında genellikle çizili olan ve λ açısına bağlı olarak ölçülen şafak eğrisinden yararlanılarak belirlenir.

Sabah namazı (subh). Güneş doğduğu anda sona erecek şekilde başlatılır. Bu zamanı belirlemede şafak eğrisinde olduğu gibi özel bir eğriden yararlanılır.

Yukarıda tanımlanan zamanların dışında rubu’ tahtasında imsak zamanı ve bayram namazıyla ilgili iki eğri daha bulunur. İmsak, “ramazanda güneşin sabah doğmadan ufka 19° yaklaştığı zaman” olarak tanımlanır. Bayram namazı ise güneş ufkun üzerine 5° yükselince başlatılır. İlki imsak eğrisi, ikincisi 5°’lik yükseklik yayı ile belirlenir.

5. Kıble yönünün belirlenmesi. Rubu‘ tahtasının İstanbul için çizildiğini var sayalım. İstanbul ve Mekke’den geçen büyük daire güneye doğru α₁ = 29°, doğuya doğru 90° - α₁ = 61°’lik bir açı yapar (şekil 11). Buna göre güneş 61°’lik genişlik dairesini (azimut) kestiği noktada Mekke yönüne yöneliktir.

B) Rubu‘ tahtasının rub‘u’l-müceyyeb yüzeyi ve kullanımı. Rubu‘ tahtasının arka yüzünde bir çeyrek daire parçası ile bu daire parçasının dik kenarları çap alınarak çizilen iki yarım dairede yer alan, rub‘u’l-müceyyeb adı verilen bir çizim bulunur (şekil 12). İslâm astronomları ve bilim adamları, bu çizimin geometrik özelliklerinden yararlanarak açıların trigonometrik değerlerini ve trigonometrik değerlerden açıları elde edebiliyor ve bazı trigonometrik denklemlerin nümerik çözümlerini bulabiliyorlardı. Ayrıca bu çizim yardımıyla iki veya daha fazla sayıyı çarpma, bölme, kare ve karekök alma, küp ve küpkök alma gibi işlemleri de kolaylıkla gerçekleştirebiliyorlardı.

Geometrik özellikleri göz önünde bulundurarak rub‘u’l-müceyyeb yukarıda belirtilen hesapların yapılmasında şu şekilde kullanılır:

a) Açıların sinüs ve kosinüs değerlerinin belirlenmesi ya da verilen trigonometrik değerlerden açıların bulunması. Çeyrek dairenin kenarı 0,5°’lik 180 adet küçük, 1°’lik 90 adet orta ve 5°’lik 18 adet büyük taksimata, çeyrek dairenin kenarları ise her birinin 5 alt taksimatı bulunan 12 taksimata ayrılmıştır. Buna göre yarıçap 5 × 12 = 60 taksimata bölünmüştür. Burada 60 sayısı 2, 3, 5 ve katlarına bölünebildiğinden sadece 2 ve 5’in katlarına bölünen 100 sayısına tercih edilmiştir.

Rubu‘ tahtasının her iki tarafındaki ölçümlerde kullanılan, her iki ucunda birer çekül bulunan ip çeyrek dairenin merkezindeki delikten geçer. Şekil 13’te görüldüğü gibi ip gergin biçimde tutulur ve yarım daire üzerinde trigonometrik fonksiyon değeri aranan α açısına karşı düşen H noktasına getirilirse trigonometrik ilişkilerden kolayca gösterilebileceği gibi, H noktasından OS ve OC çeyrek daire kenarlarına çizilen paralel HC₁ ve HS₁ doğrularının belirlediği OC₁ ve OS₁ mesafeleri cos²α ve sinα değerlerini, OH ipinin OC çaplı daireyi kestiği N noktasından OS ve OC doğrularına çizilen paralellerin belirlediği OC₂ ve OS₂ mesafeleri cos²α ve sinα.cosα değerlerini, OH ipinin OS çaplı yarı daireyi kestiği M noktasından OS ve OC doğrularına çizilen paralellerin belirlediği OC₃ ve OS₃ mesafeleri sinα.cosα ve sin²α değerlerini verir. Aynı şekilde OC ve OS kenarlarından ayarlanan trigonometrik ifadelere karşı düşen α açıları ters işlemlerle belirlenebilir.

b) Çarpma ve bölme işlemleri. İpin herhangi bir H konumu ve OH üzerindeki M noktası için benzer üçgenlerden (şekil 14) OM/OH = OM'/OH' oranı yazılabileceğine göre OH = 1, OH' = x ve OM = y için OM' = x.y çarpımı elde edilir. Buna göre OS üzerinde x değeri OH' mesafesi olarak alınır ve OC' ne paralel H'H doğrusunun SC yayını kestiği H noktası belirlenirse ipin üzerinde alınacak olan OM = y mesafesinin OS kenarına izdüşümü aranan x.y çarpımını verir. Bu hesap yönteminde x ve y değerleri 0,1 ile 1 arasında seçilir ve sayıların üsleri ayrıca değerlendirilir.

Bölme işlemlerinde OH = 1, OH' = y ve OM' = x alınarak (bk. şekil 15) OM = x/y oranı elde edilir. Bunun için x < y olmak üzere OS üzerinde x ve y mesafeleri alınır OC’ye paralel HH' doğrusunun belirlediği OM mesafesi aranan x/y oranını verir. Eğer x > y ise oran 1’den küçük olacak, x ve y değerleri 0,1 ile 1 arasında değişecek şekilde 10’un katlarıyla çarpılır ve sonuçta bu çarpılan değerler göz önünde bulundurulur.

Çarpma ve bölme işlemlerinin trigonometrik ifadelere uygulanması tanjant, kotanjant, sekant ve kosekant türü trigonometrik değerlerin hesaplanmasını mümkün kılar.

c) Kare ve karekök alma işlemleri. Kosinüs dairesi içindeki OMC dik üçgeni için geçerli OM² = OM'' OC ilişkisinden (şekil 16) OM = x ve OC = 1 için OM'' = x² olarak bulunur. Buna göre eğer OS üzerinde x değeri alınır ve bu değer gergin iple kosinüs dairesi üzerine taşınırsa OS’ye paralel MM'' doğrusu OC kenarında aranan x² değerini verir.

Bu işlem ters yönde gerçeklenirse OC üzerinde ayarlanan sayının karekökü bulunur. Bu işlemler için şekil 16’da görüldüğü gibi sinüs dairesi de kullanılabilir. Burada da karesi veya karekökü aranan sayının değerinin 0,1 ile 1 arasında bulunmaması halinde sayı 10’un katlarıyla çarpılır ve işlem bu katlara uygulanarak elde edilen sonuca aksettirilir.

d) Küp ve küpkök alma işlemleri. Kare alma işleminde olduğu gibi küpü alınacak olan değer OS kenarında ayarlanır. Şekil 16’da görüldüğü gibi OS kenarına paralel MM'' doğrusunun belirlediği H ve N noktaları için benzer üçgenlerden NN'/HH' = ON/OH oranı yazılabilir. HH' = x², ON = x, OH = 1 alındığında NN' = ON'' = x³ bulunur.

Küpkök alma işlemi ters işlem olarak doğrudan doğruya gerçeklenemez. Küpkökü alınacak olan x sayısı OC üzerinde ayarlanır (şekil 17). Küpkökün yaklaşık değeri OS üzerinde alınarak küp alma işlemindeki işlemler M''M doğrusuna göre gerçeklenir ve gerçek küpkökten daha büyük ve küçük değerlerde olduğu gibi OS’ye paralel olmayan 1 ve 2 doğruları elde edilir. Ara kestirim sonucu OS’ye paralel HNN'' doğrusu belirlenerek x^2/3 ve x^1/3 değerleri bulunur.

e) Asr-ı evvel, asr-ı sânî zamanlarının belirlenmesi. Bunun için rub‘u’l-müceyyebde iki eğri bulunur. İkindi namazı başlığı altında gösterildiği gibi asr-ı evvel ve asr-ı sânî zamanlarındaki güneş yükseklikleri öğle güneş yüksekliği cinsinden (4) ve (5) ilişkileriyle ifade edilebilir.

Eğer h₁ ve h₂ açılarının bilindiği ve OS₁ = M₁H₁, 2 OS₂ = M₂H₂ olduğu farzedilirse, şekil 18’den

m$\cot h_{1}=\frac{OC_{1}}{OS_{1}}=\frac{S_{1}M_{1}+M_{1}H_{1}}{OS_{1}}=1+\frac{S_{1}M_{1}}{OS_{1}}=1+\cot H$	(6)
m$\cot h_{2}=\frac{OC_{2}}{OS_{2}}=\frac{S_{2}M_{2}+M_{2}H_{2}}{OS_{2}}=2+\frac{S_{2}M_{2}}{OS_{2}}=2+\cot H$	(7)

ifadeleri yazılabilir. Buna göre M₁ ve M₂ noktalarının H açısı cinsinden yer eğrisi

m$r_{1}=OM_{1}=\frac{\sin h_{1}}{\sin H}=\frac{1}{\sqrt{1+sin^{2}H+sin 2H}}$ (asr-ı evvel)	(8)
m$r_{2}=OM_{2}=\frac{\sin h_{2}}{\sin H}=\frac{1}{\sqrt{1+4sin^{2}H+2sin 2H}}$ (asr-ı sânî)	(9)

olarak elde edilir. Bu eğriler kadrana çizilmiş olduğundan ip H açısına ayarlanır ve ipin eğrileri kestiği M₁ ve M₂ noktalarından OC kenarına M₁H₁ ve M₂H₂ paralelleri çizilirse OH₁ ve OH₂ yönleri h₁ ve h₂ açılarını belirler.

Rub‘u’l-müceyyeb ile özellikle h güneş yüksekliği bulunulan yerin ϕ enlemi, δ yükselim (deklinasyon) ve t zaman açısı cinsinden veren

sinh = sinϕ.sinδ + cosϕ.cost

(10)

ilişkisi; δ yükselim açısının λ güneş derecesi ve ε tutulum düzlemi (ekliptik) açısı cinsinden veren (10) türü ifadeler kolaylıkla hesaplanabilir. Bu hesapları kolaylaştırmak için rub‘u’l-müceyyeblerde genellikle 23,5°’lik ε tutulum ve örneğin İstanbul için ϕ = 41°’lik enlem yayı kadrana önceden işlenir. Böylece bu ifadelerle ilgili çarpma ve bölme işlemlerinde kolaylık sağlanır. Rubu‘ tahtası zaman ve yön tayininde kullanılmış sağlam, hassas ve güvenli bir gözlem, ölçü ve hesap aletidir.

BİBLİYOGRAFYA

Gazi Ahmed Muhtar Paşa, Riyâzü’l-Muhtâr Mir’âtü’l-mîkāt ve’l-edvâr, Kahire 1886.

P. Schmalzl, Zur Geschichte des Quadranten bei den Arabern, München 1929.

Fatin Gökmen, Rubu Tahtası: Nazariyatı ve Tersimi, İstanbul 1948.

H. Michel, Traité de l’astrolabe, Paris 1976.

W. Meyer, “Instrumente zur Bestimmung der Gebetszeiten im Islam”, I. International Congress on the History of Turkish-Islamic Science and Technology, 14-18 September 1981: Proceedings, İstanbul 1981, I, 9-32.

Hasan Denker – Muammer Dizer, “Rub’ul Müceyyeb’in Hesap Cetveli Olarak Kullanılması”, a.e., I, 91-103.

Atilla Bir – Mahmut Kayral, “Türk Kadran-Usturlabının Prensibi ve Kullanımı”, II. Uluslararası Türk-İslam Bilim ve Teknoloji Tarihi Kongresi, 28 Nisan-2 Mayıs 1986: Bildiriler, İstanbul 1986, I, 21-32.

Muammer Dizer, Rubu Tahtası, İstanbul 1987.

J. Würschmidt, “Ein türkisch-arabisches Quadrant Astrolab”, Archiv für Geschichte der Naturwissenschaften und der Technik, VIII, Leipzig 1918, s. 167-181.

a.mlf., “Die Bestimmung der krummen Stunden der Deklination und Gebetszeiten mittels des Astrolabs”, Mitteilungen zur Geschichte der Medizin und der Naturwissenschaften, XVIII, Leipzig 1919, s. 183-190.

René R. J. Rohr – L. Janin, “Deux astrolabes-quadrants turcs”, Centaurus, XIX/2, Copenhagen 1975, s. 108-124.

D. A. King, “Rubʿ”, EI² (İng.), VIII, 574-575.